Programme de formation de l’école québécoise

Savoirs essentiels :: Mathématique, 1er cycle du secondaire


L’algèbre figure ici non pas comme une structure parmi d’autres
mais comme l’instrument mathématique (...) auquel on ramène
l’étude des problèmes de toutes sortes... Seymour Papert

Au primaire, par ses diverses activités mathématiques, l’élève a été initié, à son insu, à des préalables à l’algèbre. Mentionnons notamment la recherche de termes manquants par l’utilisation des propriétés des opérations et des relations entre elles, l’appropriation du sens des relations d’égalité et d’équivalence, l’utilisation des priorités des opérations et la recherche de régularités dans différents contextes.

Au premier cycle du secondaire, il construit et s’approprie les concepts et les processus suivants :

Concepts

Sens des expressions algébriques

Processus

Note

Les coefficients et les termes constants des expressions algébriques sont des nombres écrits en notation décimale ou notation fractionnaire. Le choix de la notation dépend de la situation. Par exemple, les nombres en notation fractionnaire ayant un développement décimal périodique et ceux permettant des simplifications ne devraientps être transformés en notation décimale.

Éléments de méthode

Pour construire sa pensée algébrique, l’élève observe des régularités issues de situations diverses et représentées de différentes façons, comme des dessins, des tables de valeurs et des graphiques. Pour introduire les idées de variable, de dépendance entre des variables et de généralisation à l’aide d’une règle, l’utilisation de suites de nombres constitue un moyen privilégié. Par exemple, on peut utiliser les nombres polygonaux ou différentes situations géométriques pour généraliser à l’aide d’une ou de plusieurs règles équivalentes.

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La traduction de l’énoncé d’un problème à l’aide d’une ou de plusieurs expressions algébriques ou équations est une action liée à la résolution de problèmes. L’élève doit être exposé à une très grande diversité de situations pour être habile à le faire. Inversement, le fait de produire un énoncé à partir d’une expression algébrique, ou un problème à partir d’une équation, lui permettra d’en saisir toutes les nuances. Pour faciliter sa compréhension, il peut également représenter une situation-problème à l’aide d’un dessin, d’une table de valeurs ou d’un graphique. Il est aussi en mesure d’observer et d’interpréter des représentations graphiques de situations concrètes.

Dans le cas des manipulations algébriques, l’élève utilise, au besoin, des dessins ou des arrangements rectangulaires, par exemple en ce qui concerne la multiplication de monômes.

Il est amené à faire des liens intradisciplinaires et interdisciplinaires et à effectuer des transferts en manipulant des expressions algébriques dans des situations telles que la résolution d’une proportion, le calcul de périmètres ou d’aires ou encore l’utilisation de formules dans un tableur. Ces manipulations se font au moment de la substitution de valeurs numériques et de la résolution d’équations.

Lorsque l’élève substitue des valeurs numériques dans une expression algébrique pour calculer une valeur, ou dans une équation pour valider sa solution, il réinvestit les propriétés des opérations arithmétiques. De plus, lorsqu’il résout une équation, il choisit une méthode appropriée : essais et erreurs, dessins, méthodes arithmétiques (opérations inverses ou opérations équivalentes), méthodes algébriques (principe de la balance, méthode du terme caché).

Les conjectures énumérées ci-dessous représentent des exemples que l’on peut proposer à l’élève pour qu’il exerce son raisonnement dans un contexte arithmétique et algébrique. Le but est de l’amener à justifier les étapes de son raisonnement lorsqu’il conclut que des conjectures sont vraies ou à produire un contre-exemple lorsqu’il juge qu’elles sont fausses.

  • La somme de deux nombres naturels consécutifs est impaire.
  • La somme d’une suite de nombres impairs consécutifs commençant par 1 est un nombre carré.
  • La somme de deux nombres impairs consécutifs est divisible par 4.
  • Un nombre carré est la somme de deux nombres triangulaires consécutifs.
  • Soit trois nombres consécutifs, la différence entre le carré du deuxième et le produit du premier et du troisième est 1.
  • Le produit de deux nombres strictement positifs est supérieur ou égal à chacun de ces deux nombres.
  • Si un nombre entier est pair, alors il se termine par le chiffre 2.
  • Si un nombre entier se termine par le chiffre 2, alors c’est un nombre pair.
Repères culturels
L’apprentissage de la mathématique doit amener l’élève à reconnaître l’apport de l’arithmétique et de l’algèbre dans différents domaines tels que ceux de l’univers social, de la science et de la technologie ou encore des arts. Il devrait aussi lui fournir l’occasion d’observer les caractéristiques, les avantages et les inconvénients de différents systèmes de numération afin de bien situer celui qu’il utilise dans sa vie quotidienne et d’en saisir la portée. Il devrait enfin le sensibiliser à l’existence de plusieurs types de nombres, tels que les nombres polygonaux et les nombres premiers, ainsi qu’à certaines de leurs applications, par exemple la cryptographie. Par ailleurs, l’enseignant pourrait présenter quelques suites remarquables, dont celle de Fibonacci ainsi que le triangle de Pascal, et leurs différentes applications ; proposer des situations-problèmes portant sur l’arithmétique et l’algèbre et tirées de documents anciens tels que le Papyrus Rhind ; donner de l’information sur l’évolution, au cours des âges, de l’utilisation des notations, des symboles, des processus de calcul et des méthodes de résolution d’équations ; ou encore susciter des discussions sur la puissance et les limites des outils de calcul (machine à calculer de Pascal, calculatrice)