Programme de formation de l’école québécoise

Savoirs essentiels :: Mathématique, 1er cycle du secondaire


La géométrie est une habileté des yeux, des mains et de l’esprit.

Jean Pedersen

Au primaire, l’élève a repéré des nombres sur un axe et dans le plan cartésien. Il a construit et comparé différents solides (prisme, pyramide, boule, cylindre et cône), étudiant plus particulièrement les prismes et les pyramides. Il a reconnu le développement de polyèdres convexes et a expérimenté la relation d’Euler. Il a décrit et classifié des quadrilatères et des triangles. Il connaît les éléments relatifs au cercle (rayon, diamètre, circonférence, angle au centre). Il a observé et produit des frises et des dallages à l’aide de réflexions et de translations. Finalement, il a estimé et déterminé différentes mesures : longueur, angle, surface, volume, capacité, masse, temps et température.

Au premier cycle du secondaire, il construit et s’approprie les concepts et les processus suivants :

Concepts

Figures géométriques et sens spatial

Processus
  • Constructions géométriques
  • Transformations géométriques
  • Recherche de mesures manquantes
    • Angles
      • Mesures manquantes dans différents contextes
    • Longueurs
      • Périmètre d’une figure plane
      • Circonférence d’un cercle et longueur d’un arc
      • Périmètre d’une figure provenant d’une similitude
      • Segments provenant d’une isométrie ou d’une similitude
      • Mesure manquante d’un segment d’une figure plane
    • Aires
      • Aire de polygones décomposables en triangles et en quadrilatères
      • Aire de disques et de secteurs
      • Aire de figures décomposables en disques, en triangles ou en quadrilatères
      • Aire latérale ou totale de prismes droits, de cylindres droits ou de pyramides droites
      • Aire latérale ou totale de solides décomposables en prismes droits, en cylindres droits ou en pyramides droites

Note

Les processus liés aux transformations et aux constructions géométriques servent à construire des concepts et à dégager des invariants et des propriétés afin de les réinvestir dans différents contextes et de développer le sens spatial. Elles peuvent être réalisées à l’aide d’instruments de géométrie ou de logiciels appropriés dans le plan euclidien. Les transformations géométriques dans le plan cartésien ne sont pas retenues au premier cycle.

Lors de la recherche de mesures manquantes, l’élève est occasionnellement invité à effectuer des transferts dans des problèmes plus complexes, c’est-à-dire ceux qui nécessitent la décomposition d’un problème en sous-problèmes, par exemple le calcul de l’aire de figures décomposables. De ce fait, il gère un problème qui comporte plusieurs étapes. Il met aussi à profit le développement d’un solide. De plus, il utilise des relations et des propriétés connues. Il met en oeuvre des processus arithmétiques et algébriques ainsi qu’un raisonnement proportionnel.



Éléments de méthode : concepts

Les énoncés que l’on trouve à la fin de cette section sont indiqués à titre d’exemples ; on peut les proposer à l’élève pour qu’il exerce son raisonnement dans un contexte géométrique. Les propriétés étudiées, sans pour autant qu’il les ait démontrées, doivent constituer des conclusions que l’élève est amené à établir à partir d’activités d’exploration qui sollicitent, entre autres, son sens spatial ainsi que sa connaissance des propriétés des transformations géométriques. Ces énoncés l’aident à justifier sa démarche lorsqu’il résout une situation-problème ou qu’il déploie un raisonnement mathématique. Afin de l’initier au raisonnement déductif, on lui montre comment déduire des propriétés à l’aide d’un raisonnement rigoureux et à partir de définitions ou de propriétés déjà établies. (Les énoncés 17, 19, 24 et 25 à la page 261 peuvent être utilisés à cette fin.)

L’utilisation des transformations du plan doit être considérée comme un moyen dynamique de construire des concepts géométriques et d’en dégager des propriétés et des relations qui pourront éventuellement être réinvesties. Les opérations faites par l’élève pour réaliser une construction favorisent l’acquisition des concepts fondamentaux de parallélisme, de perpendicularité et d’angle. Les nombreuses observations qu’il peut faire à partir d’une construction lui permettent également d’explorer les propriétés des transformations géométriques. Par exemple, les translations, les réflexions et les rotations introduisent l’idée d’isométrie et l’homothétie de rapport positif, l’idée de similitude. Les constructions de type « papier-crayon » et l’utilisation de matériel concret ou de logiciels de géométrie dynamique sont également des moyens de construire des concepts géométriques.

Pour développer son sens spatial en trois dimensions, un apprentissage qui nécessite du temps, l’élève représente des solides à l’aide d’un dessin à main levée. Il identifie des solides soit par leurs développements ou par leurs représentations dans le plan. Il reconnaît des figures planes obtenues en sectionnant un solide à l’aide d’un plan.

Éléments de méthode : processus

Les formules nécessaires en mesure sont construites par l’élève à partir d’activités qui font appel à divers moyens tels que la construction de type « papier-crayon », l’utilisation de logiciels appropriés et la manipulation d’expressions algébriques.

Dans le développement de son sens de la mesure, l’élève construit les concepts de périmètre et d’aire. Pour ce faire, il est amené à comparer des périmètres et des aires dans différents contextes. De plus, il peut émettre des conjectures sur l’effet de la modification d’un paramètre dans une formule, par exemple : « Qu’arrive-t-il au périmètre d’un rectangle si ses dimensions sont doublées ? Qu’arrive-t-il à l’aire d’un disque si on double le rayon ? Qu’arrive-t-il à l’aire d’un rectangle si la longueur de sa base est doublée, triplée ou diminuée de moitié ? »

Afin de déterminer une mesure manquante et de justifier les étapes de sa démarche, l’élève s’appuie sur des définitions et des propriétés plutôt que sur le mesurage. Il met à profit des concepts et des processus liés à l’arithmétique, à l’algèbre et à la proportionnalité.

La richesse de la géométrie réside dans le fait qu’elle est réinvestie dans l’appropriation des concepts, tant à l’intérieur qu’à l’extérieur de la discipline. Par exemple, l’élève se sert des concepts géométriques pour représenter des nombres, des opérations et des expressions algébriques. Les concepts de similitude et de proportionnalité sont mobilisés dans différentes représentations graphiques. De plus, le contexte géométrique, qui sollicite le concept d’aire, permet de créer des situations favorables au calcul de probabilités.

Repères culturels
L’élève est incité à utiliser sa pensée géométrique et son sens spatial dans ses activités quotidiennes et différents contextes disciplinaires ou interdisciplinaires, tels que celui des arts ou de la science et de la technologie, ou encore dans différentes situations sociales, en réponse à certains besoins : se repérer dans l’espace, lire une carte géographique, évaluer une étudie l’évolution du calcul de la valeur π, un nombre qui a de tout temps fasciné les gens. Il résout des problèmes de mesure sur lesquels plusieurs mathématiciens se sont penchés au distance ou utiliser des jeux électroniques. Il a l’occasion de découvrir des mathématiciens qui ont marqué l’histoire de la géométrie et de la mesure, par exemple Euclide ou Thalès. Il cours des siècles, par exemple le calcul de la circonférence de la Terre (Ératosthène), du rayon de la Terre, de la distance entre la Terre et la Lune ou de la hauteur d’une pyramide. Certains instruments de mesure ont traversé les époques et d’autres ont été perfectionnés ; l’élève découvre ces instruments ainsi que l’emploi de différentes unités de mesure.


Énoncés de géométrie euclidienne

-  1. Dans tout triangle isocèle, les angles opposés aux côtés isométriques sont isométriques.
-  2. L’axe de symétrie d’un triangle isocèle supporte une médiane, une médiatrice, une bissectrice et une hauteur de ce triangle.
-  3. Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques.
-  4. Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.
-  5. Les angles opposés d’un parallélogramme sont isométriques.
-  6. Les diagonales d’un rectangle sont isométriques.
-  7. Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires.
-  8. Si deux droites sont parallèles à une troisième, alors elles sont aussi parallèles entre elles.
-  9. Si deux droites sont perpendiculaires à une troisième, alors elles sont parallèles.
-  10. Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une d’elle est perpendiculaire à l’autre.
-  11. Trois points non alignés déterminent un et un seul cercle.
-  12. Toutes les médiatrices des cordes d’un cercle se rencontrent au centre de ce cercle.
-  13. Tous les diamètres d’un cercle sont isométriques.
-  14. Dans un cercle, la mesure d’un rayon est égale à la demi-mesure du diamètre.
-  15. Dans un cercle, le rapport de la circonférence au diamètre est une constante que l’on note π.
-  16. Des angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite sont supplémentaires.
-  17. Les angles opposés par le sommet sont isométriques.
-  18. Dans un cercle, l’angle au centre a la même mesure en degrés que celle de l’arc compris entre ses côtés.
-  19. Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes-internes, alternes-externes et correspondants sont respectivement isométriques.
-  20. Dans le cas d’une droite coupant deux droites, si deux angles correspondants (ou alternes-internes ou encore alternes-externes) sont isométriques, alors ils sont formés par des droites parallèles coupées par une sécante.
-  21. Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les paires d’angles internes situées du même côté de la sécante sont supplémentaires.
-  22. Dans un cercle, le rapport des mesures de deux angles au centre est égal au rapport des mesures des arcs interceptés entre leurs
-  23. Dans un disque, le rapport des aires de deux secteurs est égal au rapport des mesures des angles au centre.
-  24. La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est de 180º.
-  25. La mesure d’un angle extérieur d’un triangle est égale à la somme des mesures des angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents.
-  26. Les éléments homologues de figures planes ou de solides isométriques ont la même mesure.
-  27. Les angles homologues des figures planes ou des solides semblables sont isométriques et les mesures des côtés homologues sont proportionnelles.
-  28. Dans des figures planes semblables, le rapport entre les aires est égal au carré du rapport de similitude.